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In Seite Statistischer Test:

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Sei X {\displaystyle X} eine Zufallsvariable, die von einem parametrisierten Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω , A , P θ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} _{\theta })} in einen Messraum ( X , F ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})} abbildet. Sei zusätzlich P = { P θ : θ Θ } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}} die parametrisierte Verteilungsannahme, also eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ( X , F ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})} , wobei Θ P ; θ P θ {\displaystyle \Theta \to {\mathcal {P}};\theta \mapsto P_{\theta }} eine Bijektion ist.[1] Dabei ist P θ = P θ X 1 {\displaystyle P_{\theta }=\mathbb {P} _{\theta }\circ X^{-1}} die Verteilung von X {\displaystyle X} . Hierbei sei Θ {\displaystyle \Theta } der Parameterraum, der in der Praxis meist eine Teilmenge des R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} mit d N {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ist. Zwei disjunkte[2] Teilmengen Θ 0 {\displaystyle \Theta _{0}} und Θ 1 {\displaystyle \Theta _{1}} von Θ {\displaystyle \Theta } definieren das Testproblem:

  • H 0 : θ Θ 0 {\displaystyle H_{0}:\theta \in \Theta _{0}}
  • H 1 : θ Θ 1 {\displaystyle H_{1}:\theta \in \Theta _{1}} ,

wobei H 0 {\displaystyle H_{0}} die Nullhypothese und H 1 {\displaystyle H_{1}} die Gegenhypothese (oder auch Alternativhypothese) bezeichnet. Dabei bilden häufig, aber nicht notwendig, die beiden Mengen Θ 0 {\displaystyle \Theta _{0}} und Θ 1 {\displaystyle \Theta _{1}} eine Zerlegung von Θ {\displaystyle \Theta } .