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Sind ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}}$ Mengensysteme auf ${\displaystyle \Omega _{1}}$ und ${\displaystyle \Omega _{2}}$ und wird das Produkt von ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}}$ definiert als

so ist das Produkt von zwei Algebren im Allgemeinen keine Algebra (auf ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$) mehr, sondern lediglich ein Halbring. Denn betrachtet man die Algebra

über ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}$, so enthält das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {A}}\star {\mathcal {A}}}$ sowohl die Mengen

Die Menge

ist jedoch nicht in enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ darstellen lässt. Somit ist das Produkt der Mengensysteme nicht komplementstabil, kann folglich auch keine Algebra sein.

Definiert man das Produkt von zwei Mengensystemen jedoch als

so ist das Produkt zweier Algebren wieder eine Algebra. Sie wird unter anderem auch dazu verwendet, die Produkt-σ-Algebra zu definieren.

Zu beachten ist, dass ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}\star {\mathcal {M}}_{2}}$ hier nicht das gewöhnliche kartesische Produkt ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}\times {\mathcal {M}}_{2}=\{(A,B)\mid A\in {\mathcal {M}}_{1},B\in {\mathcal {M}}_{2}\}}$, sondern ein Mengensystem kartesischer Produkte ${\displaystyle A\times B}$ bezeichnet.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die vom Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}\star {\mathcal {M}}_{2}}$ erzeugte ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}}_{1}\star {\mathcal {M}}_{2})}$ benötigt, die meistens mit ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}\otimes {\mathcal {M}}_{2}}$ bezeichnet wird und Produkt-σ-Algebra genannt wird.^[1][2][3]