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In Seite Mehrwertige Logik:

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Die Bočvar-Logik[1][2][3] (von Dmitrij Anatoljewitsch Bočvar, geschrieben auch Bochvar oder Botschwar) B 3 {\displaystyle B_{3}} enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation ¬ {\displaystyle \neg } , Implikation → {\displaystyle \rightarrow } , Disjunktion ∨ {\displaystyle \vee } , Konjunktion ∧ {\displaystyle \wedge } und Bisubjunktion ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation ¬ ∗ {\displaystyle \neg *} , Implikation → ∗ {\displaystyle \rightarrow *} , Disjunktion ∨ ∗ {\displaystyle \vee *} , Konjunktion ∧ ∗ {\displaystyle \wedge *} und Bisubjunktion ↔ ∗ {\displaystyle \leftrightarrow *} sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:

  • ¬ ∗ φ {\displaystyle \neg *\varphi } ( φ {\displaystyle \varphi } ist falsch)
  • φ → ∗ ψ {\displaystyle \varphi \rightarrow *\psi } (ist φ {\displaystyle \varphi } wahr, so auch ψ {\displaystyle \psi } )
  • φ ∨ ∗ ψ {\displaystyle \varphi \vee *\psi } ( φ {\displaystyle \varphi } ist wahr oder ψ {\displaystyle \psi } ist wahr)
  • φ ∧ ∗ ψ {\displaystyle \varphi \wedge *\psi } ( φ {\displaystyle \varphi } ist wahr und ψ {\displaystyle \psi } ist wahr)
  • φ ↔ ∗ ψ {\displaystyle \varphi \leftrightarrow *\psi } ( φ {\displaystyle \varphi } ist wahr gdw ψ {\displaystyle \psi } ist wahr)

Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik K 3 {\displaystyle K_{3}} .

Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung A ∗ {\displaystyle A_{*}} mit der Wahrheitswertfunktion

A ∗ 1 0 i 0 0 1 {\displaystyle {\begin{array}{|c || c|}A_{*}&\\\hline 1&0\\i&0\\0&1\\\end{array}}}

Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:

  • ¬ ∗ φ := ¬ A ∗ φ {\displaystyle \neg *\varphi :=\neg A_{*}\varphi }
  • φ ∨ ∗ ψ := A ∗ φ ∨ A ∗ ψ {\displaystyle \varphi \vee *\psi :=A_{*}\varphi \vee A_{*}\psi }
  • φ → ∗ ψ := A ∗ φ → A ∗ ψ {\displaystyle \varphi \rightarrow *\psi :=A_{*}\varphi \rightarrow A_{*}\psi }
  • φ ∧ ∗ ψ := A ∗ φ ∧ A ∗ ψ {\displaystyle \varphi \wedge *\psi :=A_{*}\varphi \wedge A_{*}\psi }
  • φ ↔ ∗ ψ := A ∗ φ ↔ A ∗ ψ {\displaystyle \varphi \leftrightarrow *\psi :=A_{*}\varphi \leftrightarrow A_{*}\psi }

Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.